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Mathematik-Abitur (Schuljahr 1989/90 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

1. Gegeben sind die Funktionen f und g durch
y = f(x) = 1/4 x2 und y = g(x) = -1/10 x3 + 3/4 x2.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von g!
Untersuchen Sie die Art der Extrema!
b) Berechnen sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f und g!
Skizzieren Sie die Graphen im Intervall -1 ≤ x ≤ 6!
c) Die Graphen von f und g begrenzen eine Punktmenge vollständig. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge!

 

2. In einem Koordinatensystem {0; i, j, k} sind zwei Geraden g1 und g2 gegeben. g1 geht durch den Punkt P0 (4; 16; -2) und hat den Richtungsvektor (-3, 3, 1). g2 geht durch die Punkte P1 (1; 3; 5) und P2 (4; 6; 2).
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Geraden g1 und g2!
b) Eine zur Gerade g2 parallele Gerade g3 habe den Richtungsvektor (ax, ay, 1). Ermitteln Sie ax und ay!
c) Es seien (bx, by, 1) Richtungsvektoren von Geraden, die zur Geraden g2 orthogonal sind. Weisen Sie nach, dass für jeden dieser Richtungsvektoren gilt:
bx + by = 1!

 

3.a) Durch die Tabelle ist eine monoton wachsende geometrische Folge (an) gegeben.
n 1 2 3 4
an 6,4   8,1  

Berechnen Sie die Glieder a2 und a4 der Folge (an)!

b) Es gibt eine Funktion f mit
y = f (x) = c * ekx          (x > 0; c ∈ R; k ∈ R; R: Menge der reellen Zahlen),
für die f (1) = 6,4 und f (3) = 8,1 gilt.
Ermitteln sie f (2) und f (4)!

 

4. Aufgabe 4 - 1989/90Für drei Betriebe, deren Lage durch die Punkte A, B und C gegeben ist, soll
im Punkt P eine gemeinsame Abwasseraufbereitungsanlage gebaut werden
(siehe Skizze!).
Skizze nicht maßstäblich, Maßangeben in km
 
a) Geben Sie die Gesamtlänge s = AP + BP + CP der Anschlussleitungen an, wenn die Anlage im Punkt D bzw. wenn die Anlage im Punkt C errichtet würde!
b) Berechnen Sie x für den Fall, das die Gesamtlänge s minimal wird! (Auf den Nachweis des Extremums wird bei dieser Aufgabe verzichtet.)
Berechnen Sie für diesen Fall die Gesamtlänge der Rohrleitung!

 

5.a) Zu einem Schulsportfest soll eine Klasse für eine 4 x 100 m-Staffel entweder eine Jungen- oder eine Mädchenstaffel stellen. Es kommen 7 Jungen bzw. 6 Mädchen in Frage.
Ermitteln Sie die theoretisch mögliche Gesamtzahl von Staffelaufstellungen, aus denen die zu meldende Staffel ausgewählt werden kann für folgende Fälle!
  • Es sind die Namen der Staffelteilnehmer und deren Reihenfolge zu melden.
  • Es sind nur die Namen der Staffelteilnehmer zu melden.
b) Es sei (an) = (c/n!) eine Folge mit c ∈ R; n ∈ N, n > 0.
Man ermittle c für den Fall, dass gilt:
an + 1 = an + 2n/(n + 1)!

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6 Aufgabe 6 - 1989/90Die Punkte O, A, B, C seien Eckpunkte einer Pyramide; R, S, T, U seien die Mittelpunkte der Kanten OA, AB, BC, OC (siehe Skizze!).
 
a) In einem kartesischen Koordinatensystem {0; i, j, k} sind O, A, B, C gegeben durch
O (0; 0; 0), A (6; 0; 0), b (8; 12; 0) und C (4; 4; 10).
Weisen Sie nach, dass für diese Spezielle Pyramide das Viereck RSTU ein Parallelogramm ist!
b) Die Pyramide OABC sei ein Tetraeder, d. h. alle Kanten haben die gleiche Länge.
Geben Sie die Vektoren RS, UT, RU; ST in Abhängigkeit von a=OA, b=OB und c=OC an!
Beweisen Sie, dass für jedes Tetraeder das Viereck RSTU ein Quadrat ist!

 

6.2. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f (x) = sin x/3          (x ∈ R). 
a) Geben Sie die kleinste Periode der Funktion f an!
Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall -2π ≤ x ≤ 3π!
b) Weisen Sie nach, dass es keine Tangente an den Graph von f gibt, die orthogonal zur Tangente im Punkt O (0; 0) an den Graph von f ist!
c) Gegeben sind die Funktionen g durch
y = g (x) = sin ax          (x ∈ R; a ∈ R; a ≠ 0).
Bilden Sie die erste, die dritte und die fünfte Abteilung der Funktion g!
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen  Zahlen n (n ≥ 0) gilt:
g[2n + 1] (x) = (-1)n * a2n + 1 * cos ax!

 

6.3. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f (x) = - 6/x * (1 - In 3x)          (0,5 ≤ x ≤ 10).
a) Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion!
Der Graph von ff hat genau einen lokalen Maximumpunkt. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes!
Skizzieren Sie den Graph von f!
b) Zeigen Sie, dass F(x) = -3(2 - In 3x) * In 3x eine Stammfunktion von f ist!
Der Graph von f, die x-Achse und eine Gerade x=c (c > 1) begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A  vollständig.
Berechnen Sie c für den Fall, dass A = 3 gilt!
c) Gegeben sind Funktionen g durch
y = g (x) = - 6/x * (1 - In ax)         (x ∈ R, x > 0; a ∈ R, a > 0).
Der Graph einer dieser Funktionen hat an der Stelle x = 2 den Anstieg 1.
Berechnen Sie a für diesen Fall!

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