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Mathematik-Abitur (Schuljahr 1982/83 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

1. Bei einer Übung der NVA wird von einer im Koordinatenursprung 0 (0; 0; 0) befindlichen Radarstation ein Flugzeug nacheinander in den Punkten P1 (-5; 50; 4)  und P2 (15; 30; 3) geortet. Die Bahn des Flugzeuges verläuft geradlinig. Zur Bekämpfung eines Erdziels wird vom Flugzeug aus im Punkt P2 eine Luft-Boden-Rakete abgeschossen, die sich auf einer geradlinigen Bahn mit dem Richtungsvektor a (4; -4; -2) bewegt. (Koordinateneinheit: 1 km)
a) Stellen Sie je eine Parametergleichung für die Bahn des Flugzeuges und die Bahn der Rakete auf!
b) Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen diesen beiden Bahnen!
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P3 (x3; y3; 0), in dem die Rakete das Erdziel erreicht!
d) Die Rakete fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 1,5 km*s-1.
Berechnen Sie die Flugdauer für die Strecke P2P3!

 

2. Eine Zahlenfolge (an) ist gegeben durch
an = 12 / ((n+3) (n+4)); (n>0).
a) Geben Sie die Glieder a1, a2 und a3 dieser Folge an!
b) Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)!
c) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n größer/gleich 1 gilt:
sn = 3n/(n+4)!
d) Ermitteln Sie den Grenzwert g der Partialsummenfolge (sn)!

 

3. Gegeben sind die Funktionen f und g durch
y = f (x) = 2√x  (x ∈ R; x ≥ 0)
und
y = g (x) = 2x - 4  (x< ∈ R).
a) Die Graphen der Funktionen f und g schneiden einander in genau einem Punkt S.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S!
b) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g im Intervall 0 ≤ x ≤ 5!
c) Die Graphen der Funktionen f und g und die y-Achse begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie denn Inhalt dieser Fläche!
 d)

Es gibt eine Tangente t an den Graph der Funktion f, die parallel zum Graph der Funktion g verläuft.
Berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes P0 dieser Tangente t!

 

4.

Aufgabe 4 - 1982/83Von einem Betrieb A soll nach einem Betriebsteil B eine Versorgungsleitung gelegt werden. A und B liegen an zwei geradlinig verlaufenden Straßen, die einander im Punkt C rechtwinklig schneiden (siehe Skizze!).
Die Kosten für den Bau der Leitung längs der Straßen AC und CB mit 40 TM je Kilometer und im Gelände mit 50 TM je Kilometer zu veranschlagen. (1 TM = 1000 Mark)

Skizze nicht maßstäblich.
 

a)  Berechnen Sie die Kosten K1 für den Fall, dass die Leitung längs der Straßen von  A über C nach B verlegt wird!
b)  Berechnen Sie die Kosten K2 für den Fall, dass die Leitung im Gelände geradlinig von A nach B verlegt wird!
c)  Die Kosten können dadurch gesenkt werden, dass die Versorgungsleitung von A längs der Straße bis zu einem Punkt D und von D im Gelände geradlinig von B verlegt wird (siehe Skizze!).
Berechnen Sie die Länge x der Strecke DC für den Fall, dass die Kosten minimal werden!
Wie hoch sind diese Kosten?
(Hinweis: Auf dem Nachweis des Minimums wird bei dieser Aufgabe verzichtet.)

 

5. Kurzaufgaben
a)  Ein Kreis ist gegeben durch die Gleichung x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0.
Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r des Kreises!
b)  Berechnen Sie die Anzahl aller Permutationen der Elemente a, b, c, d, e!
Wie viele dieser Permutationen beginnen mit dem Element b?
c)  Berechnen Sie Integral Aufgabe 5 - 1982/83 !

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6.

Aufgabe 6 - 19882/83Gegeben sind Trapeze mit den Eckpunkten
0 (0; 0), B (4a; 0), C (3a; a√3), D (a; a√3)  (a ∈ R, a > 0)
(siehe Skizze!).

Skizze (nicht maßstäblich)

a) Berechnen Sie die Länge der Seiten OD und BC!
b) Weisen Sie nach, dass die Diagonale OC senkrecht auf der Seite BC steht!
c) Weisen Sie nach, dass die Diagonale OC den Winkel α = WinkelBOD halbiert!
d) Berechnen Sie den Parameter a für den Fall, dass das Trapez den Flächeninhalt A = 9√3 hat!

 

7. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = 10e-x (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 4).
a) Ermitteln Sie die Funktionswerte f (0), f (2) und f (4), und skizzieren Sie den Graph der Funktion f!
b) P (x; f (x)) sei ein Punkt des Graphen von f im Intervall 0 ≤ x ≤ 4. Fällt man von P die Lote auf die Koordinatenachsen, so entsteht ein Rechteck mit den Seiten x und f (x). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks sei A.
Geben Sie A als Funktion von x an!
Berechnen Sie x für den Fall, dass A maximal wird!
c) Gegeben sind Funktionen durch
y = g (x) = e-ax           (x ∈ R; a ∈ R; a > 0).
Die Graphen dieser Funktionen gehen durch den Punkt P1 (0; 1). 
Ermitteln Sie eine Gleichung für die Tangenten, die in P1 an die Graphen der Funktionen gelegt werden können!
d) Genau eine dieser Tangenten schneidet die x-Achse im Punkt P2 (3; 0).
Berechnen Sie für diese Tangente den Wert des Parameters a!

 

8. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f (x) = x (2 - In x)         (x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 8).
a) Berechnen Sie f (1) und f (8)!
b) Die Funktion f hat genau eine Nullstelle.
Berechnen Sie diese Nullstelle!
c) Der Graph von f hat genau einen lokalen Extrempunkt.
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Extrempunktes!
Weisen Sie die Art des Extremums nach!
Skizzieren Sie den Graph der Funktion f!
d) Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit
y = F(x) = (5/4 x2) - 0,5x2In x     (x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 8) eine Stammfunktion von f ist!
e) Gegeben sind Funktionen durch
y = g (x) = x (a - In x)          (x ∈ R; a ∈ R; a ungleich 0).
P1 (1; a) ist ein Punkt der Graphen dieser Funktionen. Ermitteln Sie den Parameter a für den Fall, dass die Tangente in P1 an den Graph der entsprechenden Funktion den Anstieg m = 1 hat!

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