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Mathematik-Abitur (Schuljahr 1980/81 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

 

1. Gegeben ist die Ellipse mit den Scheitelpunkten  A1 (5; 0), A2 (-5; 0), B1 (0; 5/2) und B2 (0; -5/2)
a) Geben Sie die Gleichung diese Ellipse an!
Konstruieren Sie mindestens 12 Punkte dieser Ellipse, und zeichnen Sie die Ellipse!
b) Im Punkt P0 (3; 2) dieser Ellipse sei die Tangente t an die Ellipse gelegt.
Stellen Sie die Gleichung dieser Tangente auf!
c) Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g, die durch P0 geht und senkrecht auf der Tangente t steht!
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes Q der Geraden g mit der x-Achse!

 

2. Bei einer Übung der NVA soll vom Stab einer Einheit im Punkt S (0; 0; 1) eine Verbindung zum Raketenstützpunkt P (10; 50; 0) durch Richtfunk hergestellt werden. (Koordinateneinheit: 1 km)
a) Berechnen Sie die Entfernung SP vom Stab der Einheit zum Raketenstützpunkt!
b) Im Punkt R1 (0; 10; 1) wird eine Richtfunkstation eingerichtet.
Berechnen Sie den Winkel α zwischen den Vektoren R1S und R1P!
c) Zur Verbesserung der Empfangsqualität wird im Punkt R2 (5; 30; 0,5) eine Richtfunkstation zwischengeschaltet.
Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g auf, die durch die Punkte R1 und R2 geht!
Weisen Sie nach, dass der Punkt P auf der Geraden g liegt!

 

3. Eine Zahlenfolge (an) ist gegeben durch: an = 1 / (2n - 1)          (n > 0).
a) Geben Sie die Glieder a1, a2 und a3 dieser Folge an!
Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)!
b) Für das n-te Glied der Partialsummenfolge (sn) gilt: sn = 2 - (1/ (2n - 1))
Beweisen Sie diese Behauptung durch vollständige Induktion!
c) Geben Sie den Grenzwert g der Partialsummenfolge (sn) an!

 

4.  Gegeben ist eine Funktion f durch: y = f(x) = x/2 + 2/ x; (x  R; x ≠ 0).
a)  Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Bildes der Funktion f, und untersuchen Sie die Art der Extrema!
b)  Weisen Sie nach, dass die Funktion f keine Nullstellen hat!
c) Berechnen Sie f(1) und f(4), und skizzieren Sie das Bild der Funktion f im Intervall 1 ≤ x   4!
d)  Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Bild der Funktion f, der x-Achse und den Geraden x = 1 und x = 4 vollständig begrenzt wird!

 

5. Kurzaufgaben:
a)  Berechnen Sie das Skalarprodukt (a + b) * (a - b) für a = i + i und b = j-k!
b)  Ermitteln Sie ∫√(3x - 6) dx  (x ∈ R; x ≥ 2)!
c)  Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion y = f(x) = ex sin 2x          (x ∈ R)!
Berechnen Sie f'(0)

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6. Ein Kondensator wird über einen Widerstand entladen. Die Maßzahl U der Kondensatorspannung lässt sich als Funktion der Maßzahl t der Zeit beschreiben durch
U = f(t) = U0 * e-0,5t   (t ∈ R; t ≥ 0).
Dabei sind die Spannung in Volt und die Zeit in Sekunden gemessen.)
U0 ist die Maßzahl der Spannung für t = 0. Es sei U0 = 800.
a)  Berechnen Sie U2 = f(2) und U4 = f(4)!
b) Skizzieren Sie das Bild der Funktion f im Intervall 0 ≤ t ≤ 4!
c) Nach welcher Zeit beträgt die Spannung des Kondensators 20 Volt?
d) Für den Mittelwert UM der Maßzahl der Spannung im Intervall t1 ≤ t ≤ t2 gilt:
Aufgabe 6 - 1980/81
Berechnen Sie UM für das Intervall 0 ≤ t ≤ 4!

 

7. Aufgabe 7 - 1980/81Die Skizze zeigt ein gerades Prisma mit der quadratischen Grundfläche OBCD in einem Koordinatensystem {O; i, j, k}.
Es gilt: OB = a Längeneinheiten, OE = 2a Längeneinheiten. M sei der Mittelpunkt der Kante OE, N der Mittelpunkt der Kante BC.
Skizze (nicht maßstäblich).
a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte M und N an!
b) Auf der Kante DH liegt ein Punkt P derart, dass MP ⊥ MN gilt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P
c) Berechnen Sie a für den Fall, dass das rechtwinklige Dreieck MNP den Flächeninhalt A = 6√5 Flächeneinheiten hat!

 

8. Aufgabe 8 - 1980/81Ein oben offener zylindrischer Behälter hat als Boden eine nach innen gewölbte Halbkugel (siehe Skizze!).
Der Behälter hat den Oberflächeninhalt A (A konstant).
(Die Oberfläche besteht aus Zylindermantel und Oberfläche der Halbkugel.)
Berechnen Sie den Radius r der Halbkugel in Abhängigkeit von A für den Fall, dass das Fassungsvermögen des Behälters maximal wird! (Die Wandstärke bleibt unberücksichtigt.)
Skizze nicht maßstäblich.

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