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Mathematik-Abitur (Schuljahr 1981/82 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

1. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist der Kreis k gegeben. Sein Mittelpunkt liegt im Koordinatenursprung, sein Radius beträgt 2√5 Längeneinheiten.
a) Zeichnen Sie den Kreis k! Geben Sie eine Gleichung des Kreises k an!
b) A (x1; 4) und B (x1; -4), x1 > 0, sind Punkte des Kreises k.
Ermitteln Sie eine Gleichung der im Punkt A an den Kreis k gelegten Tangente t!
Zeichnen Sie die Tangente t ein!
c) Zeichnen Sie durch den Punkt B die Parallele g zur Tangente t!
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an!
d) Die Gerade g schneidet den Kreis k in den Punkten B und C. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C!

 

2: Die Gleichung einer Funktion f sei y = f(x) = (2x2 - 8) / x2
a) Ermitteln Sie Nullstellen und Polstelle der Funktion f!
b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen!
c) Weisen Sie nach, dass die Funktion f keine lokalen Extrema hat!
d) Skizzieren Sie das Bild (den Graph) der Funktion f im Intervall  -5 ≤ x ≤ +5!
e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Bild (Graph) der Funktion f, von der x-Achse und den Geraden x = 4 und x = 5 vollständig begrenzt wird!

 

3. Eine Zahlenfolge (an) ist gegeben durch
an = 1 / (2n(n+1))  (n >0).
a) Berechnen Sie die Glieder a1, a2 und a3 dieser Zahlenfolge!
b) Weisen Sie nach, dass die Folge (an) monoton fallend ist!
c) Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)!
d)

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ≥ 1 gilt:
sn = n / (2(n+1)).

 

4. Aufgabe 3 - 1981/82Bei einer Untersuchung von Molekülstrukturen werden Punktmodelle betrachtet. Ein solches Punktmodell sei durch die Eckpunkte O, A, B, C, D einer geraden Pyramide mit der quadratischen Grundfläche OABC und der Spitze D gegeben (siehe Skizze!). Pyramidenhöhe und jede Seite der quadratischen Grundfläche haben die gleiche Länge von je 4 Längeneinheiten.

Skizze nicht maßstäblich!

a)  Geben Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C, D an!
b)  Berechnen Sie die Entfernung OD!
c)  Auf der Pyramidenhöhe ED existiert ein Punkt P (2; 2; zp), für den gilt: PO = PD.
Berechnen Sie zp!
d) Berechnen Sie den Winkel φ = WinkelOPD!

 

5. Kurzaufgaben
a)  Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten zehn über drei!
b)  Gegeben ist die Funktion f durch
y = f (x) = In (sin x)      (x ∈ R; 0 < x < π).
Berechnen Sie f'(π/2)!
c)  Berechnen Sie  ∫(cos 3x)dx!

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f (x) = cos2x - 8sin x - 1     (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π).
a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f!
b) Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Bildes (Graphen) der Funktion f!
Untersuchen Sie die Art des Extremums!
c) Berechnen Sie f (π/4) und f (0,75π!
Skizzieren Sie das Bild den Graph) der Funktion f!
d) Gegeben seien Funktionen g durch
y = g (x) = a*(cos2x - 8 sin x - 1) (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π; a ∈ R; a ≠ 0).
Berechnen Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass die im Punkt P0 (π/6; y0) an das Bild (den Graph) der Funktion g gelegte Tangente den Anstieg m = √3 hat!

 

7. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = 4 / (2x -3)    (x ∈ R; x > 1,5).
a) Zeichnen Sie das Bild (den Graph) der Funktion f im Intervall 2 ≤ x ≤ 6!
b) Ermitteln Sie alle x, für die f(x)<1 ist!
c) Die Tangente im Punkt P0 (x0; y0) an das Bild (den Graph) von f hat den Anstieg m = -2.
Berechnen Sie die Koordinaten von P0!
Geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an!
  Das Bild (der Graph) der Funktion f, die x-Achse sowie die Geraden x = 2 und x = 6 begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche!
  Durch eine Gerade x = a (a ∈ R; 2 < a < 6) wird diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.
Berechnen Sie a!

 

8. Aufgabe 8 - 1981/82In der nebenstehenden Skizze sind die Bewegungen zweier Schiffe P und Q bezogen auf ein Koordinatensystem (Koordinateneinheit: 1 km) dargestellt. Die Schiffe P und Q befinden sich anfangs (t0 = 0) in den Punkten P0 (0; 0) bzw. Q0 (0; -50) (siehe Skizze). Das Schiff P fährt mit der konstanten Geschwindigkeit 15 km * h-1 in Richtung Osten, das Schiff Q mit der konstanten Geschwindigkeit 30 km * h-1 in Richtung Norden. Nach t Stunden befinden sich folglich das Schiff P im Punkt P(15 t; 0) und das Schiff Q im Punkt Q(0; 30 t - 50).
a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte P1 und Q1 an, in denen sich die Schiffe nach einer Stunden (t1 = 1) befinden! Ihre Entfernung voneinander beträgt dann s1 Kilometer.
Berechnen Sie s1 = P1Q1!
b) Wie groß ist die Entfernung der Schiffe voneinander, wenn sich das Schiff Q im Punkt P0 (0; 0) befindet?
c) Nach t Stunden sind die Schiffe s Kilometer voneinander entfernt. Geben Sie s=PtQt als Funktion von t an!
d) Für welches t haben die Schiffe P und Q die kürzeste Entfernung voneinander?
Berechnen Sie diese minimale Entfernung i km!
(Hinweis auf den Nachweis des Minimums wird in dieser Aufgabe verzichtet.)

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