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Mathematik-Abitur (Schuljahr 1986/87 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

1. In einem Koordinatensystem {O; i, j, k} ist das Dreieck ABC mit A (6; -1; 3), B (2; 3; 3) und C (2; -1; 7) gegeben.
a) Berechnen Sie die Längen der Dreieckseiten AB und AC!
b) Ermitteln Sie den Winkel α = Winkel BAC!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks!
d) Die Punkte A, B, P, C sind die Eckpunkte des Parallelogramms ABPC.
Ermitteln  Sie die Koordinaten des Punktes P!

 

2. Aufgabe 2 - 1986/87Die Skizze zeigt einen Parabelsichelträger in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit den Ursprung 0 (Koordinateneinheiten: 1 m). Die beiden den Träger begrenzenden Parabelbögen p1 und p2 schneiden die x-Achse
in den Punkten A und B.
Skizze (nicht maßstäblich)
 
a) Der obere Parabelbogen p1 ist Graph der Funktion f mit
y = f(x) = 2,50 - ((5/72) * x2)         (x ∈ R; xA ≤ x ≤ xB).
Berechnen Sie die Spannweite AB!
b) Der untere Parabelbogen p2 ist Graph der Funktion g mit
y = g(x) = 1,50 - ax2          (x ∈ R; xA ≤ x ≤ xB).
Berechnen Sie die Konstante a!
c) Die Strecke RT liegt parallel zur y-Achse.
Berechnen sie die Länge dieser Strecke!
d) In r sei an Parabel p1 die Tangente t gelegt.
Berechnen Sie den Anstieg von t!
Zu t gibt es eine Parallele, die die Parabel p2 berührt. Der Berührungspunkt sei Q. Berechnen sie die Abszisse des Punktes Q!

 

3. Gegeben ist die Partialsummenfolge (sn) der Zahlenfolge (an) durch
sn = n / (2 (n + 1)) ; ( n ≥ 1).
a) Geben Sie die Glieder s1, s2 und s3 der Partialsummenfolge (sn) an!
b) Ermitteln Sie den Grenzwert g der Folge (sn)!
c) Für welche natürliche Zahlen n gilt, dass die Glieder der folge (sn) in
der ε-Umgebung von g liegen, wenn ε = 10-3 ist?
d) Geben sie die Glieder a1, a2 und a3 der Zahlenfolge (an) an!
Ermitteln Sie eine explizite Zuordnungsvorschrift für die Zahlenfolge (an)!

 

4. Gegeben sind die Funktion f durch
y = f (x) = x + 2 cos x          (x ∈ R; ; π/4 ≤ x ≤ 2π)
und die Gerade g durch
y = g (x) = x + 2.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von f!
Weisen Sie die Art der Extrema nach!
b) Die Gerade g und der Graph von f haben die Punkte S1 und S2 gemeinsam.
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte S1 und S2!
c) Skizzieren Sie den Graph von f!
Zeichnen Sie die Gerade g ein!
d) Der Graph von f und die Gerade g begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen sie den Inhalt dieser Fläche!

 

5. Kurzaufgaben
a) Gegeben ist die Funktion f durch
y = f (x) = (In x) / ex          (x ∈ R; x > 0).
Berechnen Sie f' (1)!
b) Welche Stammfunktion F der Funktion f (x) = e2x hat an der Stelle
x0 = 0 den Funktionswert F (x0) = 2?
c) Für welche Zahl n ist die Anzahl der Variationen von n verschiedenen Elementen zur 2. Klasse gleich der Anzahl der Kombinationen dieser n Elemente zur 3. Klasse?

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6. In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Trapez ABCD mit A (0; 0), B (20; 0), C (5; 10) und D (0; 10) gegeben.
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Diagonalen!
Berechnen Sie den  Schnittwinkel der Diagonalen!
b) Berechnen Sie die Abszisse des Punktes P, der auf der Strecke AB liegt und für den PB = PS gilt!
c) Die Parallele zur Seite AB durch den Punkt schneidet die Seite AD im Punkt T.
Weisen Sie nach, dass diese Parallele den Winkel Winkel BTC halbiert!

 

7. Gegeben sind Funktionen f durch
y = f (x) = (x + 1) * dax          (x ∈ R; a ∈ R, a > 0).
a) Der Graph jeder dieser Funktionen schneidet die y-Achse im Punkt R und die x-Achse im Punkt Q.
Ermitteln Sie die Koordinaten von R und Q!
b)  Die Graphen der Funktionen haben je eine lokalen Extrempunkt E (xE; f (xE)).
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes E (in Abhängigkeit vom Parameter a)!
Weisen Sie die Art des Extremums nach!
c) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die n-te Ableitung 
der Funktion f
f(n) (x) = an-1 * eax * (ax + a + n)
gilt!

 

8. Aufgabe 8 - 1986/87Die Skizze zeigen den Graph der Funktion f mit
y = f (x) = 2 Wurzel aus (x  - 1)          (x ∈ R; 1 ≤ x ≤ xQ)
und die Geraden y = 4 und x = c          (c ∈ R; 1 < c < xQ).
Skizze (nicht maßstäblich)<brclear="all">
a) Berechnen Sie die Abszisse xQ des Punktes Q!
b) Berechnen Sie für den Fall c = 3 die Inhalte der beiden gekennzeichneten Flächen!
c) Unter den Geraden x = c gibt es genau eine, für die die Summe der Inhalte der gekennzeichneten Flächen minimal wird.
Berechnen Sie c für diesen Fall!
Geben Sie die minimale Summe an!
(Auf den Nachweis des Minimums wird bei dieser Aufgabe verzichtet.)

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