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Mathematik-Abitur (Schuljahr 1983/84 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

1. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = x2 - 1/3 * x3         (x ∈ R)
a) Berechnen Sie die Nullstellen von f!
b) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von f!
Untersuchen Sie die Art dieser Extrema!
c) Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall
-2 ≤ x ≤ 4!
d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graph der Funktion f und der x-Achse vollständig begrenzt wird!

 

2: Gegeben ist die Funktion f durch
    y = f(x) = In (2x - 1)          (x ∈ R; x > 0,5).
a) Berechnen Sie die Nullstelle x0 von f!
b) Berechnen Sie die Funktionswerte f(0,6), f(2) und f(4)!
Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall 0,6 ≤ x ≤ 4!
c) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graph der Funktion f im Punkt P0 (x0; 0)!
d) Der Punkt M (0; 3) ist Mittelpunkt des Kreises k mit dem Radius r = √5.
Zeichnen Sie den Kreis in die Skizze ein!
Stellen Sie die Gleichung des Kreises k auf!
e) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Tangente t auch den Kreis k berührt!

 

3. Aufgabe 3 - 1983/84Die Punkte O, A, B, C, D, E sind Eckpunkte eines Pyramidenstumpfes mit OA || CD und OB || CE (siehe Skizze!).
Es gilt:
OA = OB = 6,0 cm
CD = CE = 3,0 cm
OC = 3,0 cm
Skizze (nicht maßstäblich)
a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C, D, E an!
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Diagonalen AE und BD!
c) Berechnen Sie den Schnittwinkel der Diagonalen  AE und BD!
d) Weisen Sie nach, dass die Strecke OS orthogonal zur Diagonalen AE ist!

 

4. Eine Zentrifuge läuft mit einer Drehzahl von aUmdrehungen pro Minute. Nach Abschalten des Stromes verringert sich die Drehzahl und nimmt nach 1 Sekunde den Wert a1 Umdrehungen pro Minute an, nach k Sekunden den Wert ak Umdrehungen pro Minute.
a)  Die Zahlen a0, a1, a2, ... sind Glieder einer geometrischen Folge.
Berechnen Sie die Glieder a2 und a3 dieser Folge für den Fall, dass a0 = 1 250 und a1 = 1 000 gilt!
b)  Die Drehzahl y Umdrehungen pro Minute nach t Sekunden kann auch beschrieben werden durch eine Exponentialfunktion der Form
y = f(t) = 1 250 * e-ct          (t ∈ R, t ≥ 0; c ∈ R, c > 0).
Berechnen Sie c für den Fall, dass f(1) = 1 000 gilt!
Berechnen Sie für diesen Fall f(3)!

 

5. Kurzaufgaben
a)  Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = (1 - x2) / e3x          (x ∈ R).
Berechnen Sie f'(0)!
b)  Ermitteln Sie den Grenzwert Aufgabe 5 - 1983/84 !
c)  Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, in denen die auftretenden Ziffern ungerade und voneinander verschieden sind?

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = 10 / (1 + x)          (x ∈ R; x ≥ 1).
a) Berechnen Sie die Funktionswerte f(1), f(2), f(4) und f(7)!
Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall 1 ≤ x ≤ 7!
b) Der Graph von f, die x-Achse sowie die Geraden x = k und x = k + 1 begrenzen die Fläche mit dem Inhalt AK vollständig (k = 1, 2, 3, ..., n, ...).
Berechnen sie A1, A2, A3 und An!
c) A1, A2, A3, ... bilden die Glieder einer Zahlenfolge (An).
Berechnen Sie die Glieder s1, s2 und s3 der zugehörigen Partialsummenfolge (sn)!
d) Weisen Sie nach, dass für das n-te Glied sn der Partialsummenfolge gilt:
sn = 10 * In ((n + 2)/2)!

 

7.

Aufgabe 7 - 1983/84Durch einen Berg führt die geradlinige Tunnelstrecke P1P2 mit P1(100; 20; 100) und P2(400; 200; 90) (Skizze!).
(Koordinateneinheit: 1 m)

Skizze (nicht maßstäblich)

a) Berechnen Sie die Länge der Tunnelstrecke P1P2!
Stellen Sie eine Gleichung für die Gerade g auf, die durch die Punkte
P1 und P2 geht!
b) Von einem Punkt Q (210; 122; zQ) eines vertikal verlaufenden Schachtes aus soll in Richtung des Vektors a = (2, -6, -3) ein geradlinig verlaufender Entlüftungsstollen gebaut werden, der den Tunnel im Punkt S trifft.
Berechnen Sie die Koordinaten von S!
c) Berechnen Sie die Höhe von zQ, von der aus der Bau des Entlüftungsstollens begonnen werden muss!
d) Berechnen Sie den Winkel zwischen dem vertikal verlaufenden Schacht und dem Entlüftungsstollens!

 

8.

Aufgabe 8  -1983/84Der Querschnitt einer oben offenen Rinne ist ein gleichschenkliges Trapez mit BC = 6,8 dm und CD = BE = 4,0 dm (siehe Skizze!)

Skizze (nicht maßstäblich)
 

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Querschnitts für den Fall, dass DE = 12,8 dm beträgt!
b) Berechnen Sie x oder φ für den Fall, dass der Flächeninhalt des Querschnitts maximal wird!
(Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.)
c) Berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt!

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