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Mathematik-Abitur (Schuljahr 1979/80 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

1. In einem Koordinatensystem sind die Punkte A(1;1;1), B(2; 5; 2), C(1; 4; -2) und D(0; 0; -3) gegeben.
a) Geben Sie die Vektoren AB und CD in Komponenten- oder Koordinatendarstellung an!
Weisen Sie nach, dass diese Vektoren parallel zueinander sind!
b) Berechnen Sie den Winkel BAD !
c) Durch die Punkte A und C geht die Gerade g1, durch B und D die Gerade g2.
Stellen Sie für die Geraden g1 und g2 je eine Gleichung auf!
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g1 und g2!
d) Die Gerade g1 durchstößt die xy-Ebene im Punkt P0.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P0!

 

2.

Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = 1/6 x (x-3)2   (x ∈ R)

a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f!
b) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Bildes der Funktion f!
Untersuchen Sie die Art der Extrema!
c) Skizzieren Sie das Bild der Funktion f im Intervall –1 ≤ x ≤ 6!
d) Im Koordinatenursprung ist die Tangente t an das Bild der Funktion f gelegt. Stellen Sie die Gleichung dieser Tangente auf!
e) Die Tangente t und das Bild der Funktion f haben außer dem Berührungspunkt nur den Punkt P1(6; y1) gemeinsam. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Bild der Funktion f und der Tangente vollständig begrenzt wird.

 

3.

Die Skizze zeigt den Achsenschnitt eines Fasses. Die Bögen P1Q1R1 bzw. P2Q2R2 werden durch die Parabeln 
y = -1/16 x2 + 3 bzw. y = 1/16 x2-3 im Intervall –4 ≤ x  4 beschrieben.

  Aufgabe 3 - 1979/80 (Koordinateneinheit: 1 dm)
a) Berechnen Sie den Durchmesser des Fassbodens!
b) In welchem Abstand s vom Fassboden beträgt der Durchmesser T1T2 des Fasses 5,0 dm?
c) Die Bögen des Achsenschnittes lassen sich durch Bögen der Ellipse annähern, die durch die Punkte P1, Q1 und R1 geht und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung O liegt. Stellen Sie die Gleichung dieser Ellipse auf!

 

4.

Vor einer Werkhalle soll ein rechteckiger Lagerplatz mit einem Flächeninhalt von 450 m² angelegt werden. Dazu ist der Platz an drei Seiten mit einem Zaun zu umgeben, an der vierten Seite wird er durch einen Teil der Werkhalle vollständig begrenzt.
Die Abmessungen des Platzes sollen so gewählt werden, dass die Gesamtlänge des Zaunes minimal wird.
Berechnen Sie für diesen Fall die Gesamtlänge des Zaunes!

 

5. Kurzaufgaben:
a)  Berechnen Sie k x j und (k x j) · i !
b)  Weisen Sie nach, dass die Folge (an) mit an = n/(n-1), n>1, eine monoton fallende Folge ist!
c)  Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion
y = f(x) = ln(x+2) an!

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6.

Gegeben sind Funktionen durch 
y = f(x) = x eax (x, a ∈ R und a > 0)

a) Das Bild jeder dieser Funktionen hat genau eine lokalen Extrempunkt.
Berechnen Sie seine Koordinaten! Ermitteln Sie die Art des Extremums. 
b) Bilden Sie die dritte Ableitung der Funktion f(x) !
c) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für die n-te Ableitung dieser Funktion gilt:
f(n)(x) = an-1 eax (n + ax) !

 

7.

Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = sin 2x + 2 cos x (x ∈ R; 0  x  π)

a) Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f!
b) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Bildes der Funktion f !
Untersuchen Sie die Art der Extrema!
c) Berechnen Sie f(0) und f(π)
Skizzieren Sie das Bild der Funktion f !
d) Ermitteln Sie das unbestimmte Integral: ∫(sin 2x + 2 cos x)dx!

 

8.

Die Gleichung einer monoton fallenden Funktion sei
y = f(x) = 6 / √(3x + 4).

a) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an!
b) Ergänzen Sie für diese Funktion die folgende Wertetabelle:
x 1 0   7
y     1,5  

Skizzieren Sie das Bild der Funktion f im Intervall -1  x  7 !

c) Das Bild der Funktion f , die Koordinatenachsen und die Gerade x = 7 begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt A1 dieser Fläche!
d) Das Bild der Funktion f, die Koordinatenachsen und eine Gerade x = b (b > 0) begrenzen eine Fläche vollständig.
Ermitteln Sie b für den Fall, dass der Inhalt A2 dieser Fläche 8 FE beträgt!
e) Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 = 0 !


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