Mathematik-Abitur (Schuljahr 1985/86 - DDR)

Pflichtaufgaben

(Vektoren fett und kursiv; Winkel: Winkel)

1. Die Gerade g1 verläuft durch die Punkte A (5;2;0) und B (6;2;-5), die Gerade g2 geht durch den Punkt (2;-6;11) und hat die Richtung  des Vektors a = i + 4j - 3k .
a) Stellen Sie je eine Parametergleichung für die Geraden g1 und g2 auf !
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S und den Schnittwinkel φ der Geraden g1 und g2 !
c) Überprüfen Sie, ob der Punkt C (5; 6; 2) auf der Geraden g2 liegt !

 

2: Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = √(2x + 3) - x        (x ∈ R; x ≥ -1,5).
a) Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f!
b) Ermitteln Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen von f !
Weisen Sie die Art des Extremums nach !
c) Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -1,5 ≤ x ≤ 4 !
d) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachse begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche !

 

3. Gegeben sind die Funktionen f und g durch
y = f(x) = 2 + cos x   (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π) und
y = g(x) = sin2x         (x ∈ R; 0 ≤ x ≤ π)
a)

Ergänzen Sie für die Funktion g die folgende Werttabelle !

x 0 π/6 π/3 π/2 2/3π 5/6π π
g(x)              
b) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g in ein und demselben Koordinatensystem !
c) Für jede Parallele zur y-Achse, die die Graphen der Funktionen f und g in einem Punkt schneidet, stellt h (x) = f (x) - g (x) den Abstand der beiden Punkte dar.
Berechnen Sie die Abszisse xE für den Fall, dass dieser Abstand minimal wird !
Berechnen Sie den minimalen Abstand !
d) Zeigen Sie, dass die Tangente im Punkt P ( 2/3 pi; f (2/3 pi)) an den Graph der Funktion f und die Tangente im Punkt Q (2/3π; g (2/3π)) an den Graph der Funktion g zueinander parallel sind ! 

 

4. Fünf Bauelemente haben die elektrischen Widerstände R1, R2, R3, R4 und R5.
Ihre Zahlenwerte bilden eine geometrische Folge.
Es sei R1 = 10 Ohm und R5 = 160 Ohm.
a)  Berechnen Sie den Quotienten q dieser geometrischen Folge !
b)  Berechnen Sie den elektrischen Widerstand R für den Fall, dass die 5 Widerstände in Reihe geschaltet sind !
c)  Schaltet man zwei verschiedene dieser 5 Widerstände in Reihe, so erhält man jeweils einen anderen elektrischen Widerstand.
Wie viele verschiedene elektrische Widerstände lassen sich auf diese Weise herstellen ?
d) Auch bei Reihenschaltung von je 3 oder je 4 verschiedenen dieser 5 Widerstände erhält man jeweils einen anderen elektrischen Widerstand.
Wie viele verschiedene elektrische Widerstände lassen sich dann insgesamt erzeugen, wenn man alle möglichen Schaltungen von 2 und von 3 und von 4 verschiedenen Widerständen herstellt ?

 

5. Kurzaufgaben
a)  Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = x * In x         (x ∈ R; x > 0).
Berechnen Sie f'(e)!
b)  Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD durch A(2;1), AB = 5i + 2j und BC = i + 4j .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D und die Läge der Diagonalen BD !
c)  Geben Sie die Menge aller reellen Zahlen x an, für die der Term 1/√(3x - 6) nicht definiert ist !

 Wahlaufgaben

(Von den folgenden Aufgaben brauchen Sie nur eine Aufgabe zu lösen.)

6. Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = 1/(1 - ax)          (x ∈ R; x ≠ 3/a ; a ∈ R; a > 0 ).
a) Weisen Sie nach, dass diese Funktionen keine lokalen Extrema haben !
b) Für a = 0,5 erhält man die Funktion f1 mit
y = f1(x) = 1/(3 - 0,5x)     (x ∈ R; x ≠ 6) .
Skizzieren Sie den Graph von f1 im Intervall 0 ≤ x ≤ 5 !
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graph dieser Funktion, den Koordinatenachsen und der Geraden x = 4 vollständig begrenzt wird !
c) Bilden Sie f''(x) und f'''(x) für
y = f(x) = 1/(3 - ax) !
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für die n-te Ableitung der Funktion f
f(n)(x) = (n! an) / ((3 - ax)n+1) gilt !
d) Die Graphen aller Funktionen y = f(x) = 1/(3 - ax) schneiden die y-Achse in Po (0; 1/3) . Die Tangente in P0 an genau einen dieser Graphen steht senkrecht auf der Geraden y = -6x + 1 .
Berechnen Sie für diesen Fall den Wert des Parameters a !

 

7. Für einen geladenen Kondensator lässt sich der Zahlenwert I der Entladestromstärke als Funktion des Zahlenwertes t der Zeit beschreiben durch
I = f(t) = I0 * e-0,4t   (t ∈ R; t ≥ 0) .
(Dabei sind die Stromstärke in Milliampere und die Zeit in Sekunden gemessen) I0 ist der Zahlenwert der Entladestromstärke für t = 0. Es sei I0 = 2,4.
a) Berechnen Sie f(0), f(2) und f(4) !
Skizzieren Sie den Graph von f im Intervall 0 ≤ t ≤ 4 !
b) Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Stromstärke 1,8 mA beträgt !
c) Der Zahlenwert Q der vom Kondensator im Intervall [t1; t2] abgegebenen Ladung (gemessen in Milliamperesekunden) wird durch Aufgabe 7 - 1985/86 ermittelt.
Berechnen Sie die Ladung, die der Kondensator in den ersten 3,5 Sekunden des Entladungsvorganges abgibt !
d) Für t1 = 0 habe der Kondensator eine Ladung, deren Zahlenwert Q = 6,0 beträgt.
Berechnen Sie t2 für den Fall, dass der Kondensator 60 % dieser Ladung abgegeben hat !

 

8.

Aufgabe 8 - 1985/86Ein Massepunkt M bewegt sich auf einer Geraden gM  mit der konstanten Geschwindigkeit 2,0 m * s-1  und durchläuft zum Zeitpunkt to = 0 den Punkt Mo (siehe Skizze!).
Ein zweiter Massepunkt N bewegt sich auf einer zu gM orthogonalen Geraden gN mit der konstanten Geschwindigkeit 6,0 ms-1 auf den Punkt M0 zu.
Zum Zeitpunkt to = 0 durchläuft er den Punkt N0. Die Entfernung N0M0 beträgt 300 m.
Skizze (nicht maßstäblich)

a) Berechnen Sie die Entfernung, die die beiden Massepunkte nach 30 Sekunden voneinander haben !
b) Nach t Sekunden sind die beiden Massepunkte s Meter voneinander entfernt.
Geben Sie für diesen Fall s als Funktion von t an !
c) Nach welcher Zeit ist die Entfernung der beiden Massepunkte voneinander minimal ?
Berechnen Sie diese minimale Entfernung !
d)

Mit welcher konstanten Geschwindigkeit müsste sich der Massepunkt M unter sonst gleichen Bedingungen bewegen, wenn die Entfernung der beiden Massepunkte voneinander bereits nach 40 Sekunden minimal sein soll ?
Hinweis: Auf den Nachweis des Minimums bei c) wird bei dieser Aufgabe verzichtet.